1、演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加重要的地位。这种状态已知保持到笛卡儿解析几何的诞生。
2、哥德尔对形式主义者方案的冲击，尽管对更富雄心和哲学冲动的希尔伯特学派是毁灭性的，但也大大推进了他们一些较少雄心的目标，证明论在元数学算术化、可计算理论和递归函数中得以具体化。
3、罗素的天才在于他能把人的逻辑思维非常简明的描绘出来，所以后人也把罗素称为逻辑大师。同时罗素又被人赞为哲学家，这在数学家中并不多见(可能只有笛卡尔有哲学家的称号)。哲学家的厉害之处，在于用简明的语言点出了深奥的人生道理，让你不得不佩服。罗素把数理逻辑发展成了一门哲学学科，足见他功底之深。
4、19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。
5、18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的，强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念不清楚；无穷大概念不清楚；发散级数求和的任意性等等；符号的不严格使用；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。
6、在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。(罗素悖论与第三次数学危机)。
7、第一次是关于无理数，这次危机直接就把毕达哥拉斯的数学王朝推翻，第二次数学危机是关于微积分，是常识跟数学之间契合的问题；第三次数学危机是关于集合论，发生在二十世纪初，这次危机涉及到了数学中最基础的大厦，差点把整个数学理论推翻重来。
8、某村有一位手艺高超的理发师，他只给村上所有不给自己刮脸的人刮脸，那么，他给不给自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他是个不给自己刮脸的人，他应当给自己刮脸；如果他给自己刮脸，由于他只给不给自己刮脸的人刮脸，他就不应当给自己刮脸了。他应该如何呢？ 现在考虑由所有那些自身不属于自己的集合作成一个集合A,那么，A是本身属于自己的集合还是本身不属于自己的集合呢？理应两者必居其中一个，但是，我们看到：若A∈A,则根据A的定义，A∉A。若A∉A，则根据A的定义，A∈A。无论在任何情况下都导致矛盾，这就是人所共知的罗素悖论。
9、 这次危机的萌芽出现在大约公元前450年，芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的四个悖论：
10、00希帕索斯的发现，促使人们进一步去认识和理解无理数。
11、他经常质疑建立在排中律基础上的数学证明，称他们是“所谓的证明”。
12、法国著名数学家庞加莱(1854—1912)于1900年在巴黎召开的国际数学家会议上夸耀道：“现在可以说，(数学)绝对的严密性是已经达到了”。
13、00经过第二次数学危机，人们把数学基础理论的无矛盾性，归结为集第三次数学危机合论的无矛盾性，***论已成为整个现代数学的逻辑基础，数学这座富丽堂皇的大厦就算竣工了。
14、00毕达哥拉斯学派主张“数”是万物的本原、始基，而宇宙中一切现象都可归结为整数或整数之比。
15、十九世纪俄国年轻数学家H.N. 罗巴切夫斯基Lobatchevsky (1793 — 1856) 认真分析了前人的经验与教训, 大胆地提出一个新观念: 可能会存在第五公设不能成立的新几何系统。在这种思想的指导下, 他一举而创立了罗巴切夫斯基几何学, 简称罗氏几何学, 又称为双曲几何学。
16、这一悖论的发现，在当时引起了一定的思想混乱，导致了数学史上的第二次危机，引起了持续200多年的微积分基础理论的争论。
17、当然，罗素在数学上最叫人记住的，不是他的深奥理论，而是他发现了集合论的矛盾，现在也叫做罗素悖论。这个悖论甚至引发了第三次数学危机，可见其影响程度之深。
18、如果是第一次、第二次数学危机仅仅影响的是整个数学大厦的建造问题，那么第三次数学大厦直接动摇的是整个地基，因为涉及的是数学基础问题。
19、 第二次数学危机 ： 无穷小量 是否存在。
20、 图片|吴浩芸
21、受希尔伯特规划的影响，1930年哥德尔开始考虑数学分析的一致性问题，1931年发表《PM及有关系统中的形式不可判定命题》一文，论证了两个著名的定理： 一个包括初等数论的形式系统P，如果是一致的那么就是不完备的(第一不完备性定理)； 如果这样的系统是一致的，那么其一致性在本系统中不可证(第二不完备性定理)。哥德尔的本意是要实现希尔伯特规划。他试图首先证明算术理论的一致性，然后建立分析“实数的”理论的一致性。但最终结果却刚好相反，彻底粉碎了希尔伯特的梦想。
22、但是，基于生产和科学技术的发展水平，毕达哥拉斯学派及以后的古希腊的数学家们没有也不可能建立严格的无理数理论，他们对无理数的问题基本上采取了回避的态度，放弃对数的算术处理，代之以几何处理，从而开始了几何优先发展的时期，在此后两千年间，希腊的几何学几乎成了全部数学的基础。
23、 罗素悖论曾被以多种形式通俗化，其中最著名的是罗索于1919年给出的，它讲的是某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他只给不自己刮胡子的人刮胡子。当人们试图答复下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：“理发师是否可以给自己刮胡子？”如果他给自己刮胡子，那么他就不符合他的原则；如果他不给自己刮胡子，那么他按原则就该为自己刮胡子。
24、第一次数学危机首先要提到一个人物，毕达哥拉斯：毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。他们主张，“一切数均可表示成整数或整数之比”，这是这一学派的数学信仰。但其学派中的一个成员西帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，他们认为西帕索斯是毕达哥拉斯学派的叛徒，就把他投入大海。当时面对这一结论人们毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
25、 他对实数理论和极限理论的基础集合论给以了很高的评价，但事隔两年，在1902年突然传出了一个惊人的消息: 著名的哲学家、数学家罗素发现了集合论的概念本身岀现了矛盾。这就是罗素提出的著名集合悖论：“宇宙是不存在的。”
26、对这一悖论，康托尔并没有感到害怕，因为通过反证法恰恰证明没有“所有集合的集合”或者说“最大的集合”，当然也没有“最大的基数”。
27、因为数学要按照形式逻辑的不矛盾律来思维，不能在同一思维过程中既承认不等于零，又承认等于零。
28、三次危机可能告一段落，但新的悖论注定还会产生……
29、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机。从历史或逻辑的观点来看，它的发生也带有必然性。
30、解决集合论的悖论的其它尝试，是从逻辑上去找问题的症结，这带来了逻辑基础的全面研究。
31、 上面对悖论的解释太抽象，能通俗的解释这个矛盾吗？
32、另外还有5大公设，除了第五大公设平行公设后来发现可以有其它路径外，其它四个都是关于点，圆，线的作图，应该也没有问题。简单说，前四大公设为，两点可以做一条直线，直线可以延长，任意点加一个长度可以画个圆，所有直角都是相等的。四大公设一看也是显然成立的。
33、 在19世纪下半叶，经历2次数学危机后，严格建立了实数理论和极限理论的。法国大数学家庞加莱在1900年巴黎召开的国际数学家大会宣称：“数学的严格性看来直到今天才可以说是严格实现了。”
34、如产生罗素悖论的原因，就在于概括原则造集的任意性与生成***的客观规则的非任意性之间的矛盾。
35、康托创立集合论，是基于解决微积分的逻辑基础问题，为了使微积分里面采用的无穷小概念有一个清晰的逻辑基础。
36、(1)若A属于A，则根据A的定义，A不属于A。
37、三大学派的数学成果首先表现在数理逻辑学科的形成和它的现代分支——证明论等——的形成上。
38、1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出："牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式(x+0)n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，"dx为逝去量的灵魂"。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。
39、大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比(不可通约)的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。
40、罗素虽然提出了问题，成为危机的制造者，但同时也是危机的解决者，罗素在他的著作中提出了分支类型论以解决这个矛盾，使得“自己既要属于自己又同时不属于自己”不可能出现。不过，这个层次理论十分复杂，所以数学家要把这个方法加以简化，而先提出的人是策墨罗，他提出了“有限抽象原则”和几条公理，及后再由弗兰克和斯柯伦补充修改，形成现在在数学上较为流行的公理系统——ZFS公理系统。随着公理化集合系统的建立，集合论中的悖论被成功排除了，因而从某种程度上来说，第三次数学危机解决了。 4第三次数学危机的影响
41、1920 年，他声称“将排中律用作数学证明的一部分，是不允许的……它只具有学理和启发的价值，因此那些在证明中不可避免使用这个定律是缺乏数学内涵的。”
42、罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定相关书籍的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。
43、三大数学流派是围绕数学的哲学基础问题进行的不同探讨而形成的三大学派，主要指逻辑主义、形式主义和直觉主义三大学派。其形成主要是在1900年到1930年这三十年间。代表人物有罗素、希尔伯特、布劳威尔。
44、后来有越来越多的数学家接受了康托尔这一开创性成果，并且给予广泛而高度的赞誉，数学家们发现从自然数与康托尔集合论出发可以建立起整个数学大厦，这个大厦的基石逻辑性，绝对严密，牢不可摧。
45、00美国杰出数学家哥德尔于本世纪30年代提出了不完全性定理。
46、看来***论似乎是不会有矛盾的，数学的严格性的目标快要达到了，数学家们几乎都为这一成就自鸣得意。
47、正是这部《数学原理》引起了另一个数学天才的注意，并从而推倒了所有数学公理体系成立的可能，这个天才就是哥德尔！1931年，在希尔伯特提出计划不到3年，年轻的哥德尔就使希尔伯特的梦想变成了令人沮丧的噩梦。哥德尔证明:任何无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题，用这组公理不能判定其真假。也就是说，"无矛盾"和"完备"是不能同时满足的!这便是闻名于世的哥德尔不完全性定理。
48、是的.想必大家或多或少，都曾接触过芝诺悖论，在这里，数学园地将系统性地呈现芝诺的4条悖论，并分别阐释每一条“悖”在哪里、又是如何与三次数学危机建立联系.
49、柏拉图(Plato, 公元前427 — 公元前347) 曾经提出:“迫使灵魂用抽象的数来进行推理, 而厌弃在辩论中引入可见的和可捉摸的现象”。亚里士多德(Aristotle, 公元前384 —公元前322) 认为秩序和对称是美的主要因素, 但二者都可以在数学中找到。很多数学史家都认为数学公理化思想的萌芽始自于亚里士多德的著作。
50、他指出：一个包含逻辑和初等数论的形式系统，如果是协调的，则是不完全的，亦即无矛盾性不可能在本系统内确立；如果初等算术系统是协调的，则协调性在算术系统内是不可能证明的。
51、两大数学危机的实质其实都是因为实数体系的不完善所导致的。所以魏尔斯特拉斯等人发起了“分析算术化”运动。
52、那么如果希尔伯特的这三个计划完成了，意味着什么？首先，一致性是很重要的，因为我们不能接受比如说“哥德巴赫猜想既对又不对”这样的结论，一致性无疑就保证了自相矛盾的情况不会出现。在保证数学的一致性这个前提下，我们又有数学的完备性，也就是说只要是真的都可以证明。
53、最后，到了公元前370年，这场危机被毕氏学派的欧多克斯通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！
54、首先，在呈现芝诺悖论之前，先让我们弄清楚“悖论”的定义.
55、 西方数学的危机并不是自身形式的改变,而是人们对数学认识的改变；是人们对数学的理解发生了改变。
56、00为了排除***论悖论，罗素提出了类型论，策梅罗提出了第一个***论公理系统，后经弗伦克尔加以修改和补充，得到常用的策梅罗——弗伦克尔***论公理体系，以后又经伯奈斯和哥德尔进一步改进和简化，得到伯奈斯——哥德尔***论公理体系。
57、 “两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点，然而要经过这点，又必须先经过路程的1/4点……，如此类推以至无穷。——结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动是不可能的。
58、一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
59、18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。
60、19世纪70年代，康托尔创立了集合论，庞加莱在1900年国际数学家大会上宣称：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦…”
61、直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。
62、集合论中悖论的存在，明确地表示某些地方出了毛病。自从发现它们之后，人们发表了大量关于这个课题的文章，并且为解决它们作过大量的尝试。就数学而论，看来有一条容易的出路：人们只要把集合论建立在公理化的基础上，加以充分限制以排除所知道的矛盾。
63、20世纪20年代，在集合论不断发展的基础上，大数学家希尔伯特向全世界的数学家抛出了个宏伟计划，其大意是建立一组公理体系，使一切数学命题原则上都可由此经有限步推定真伪，这叫做公理体系的"完备性";希尔伯特还要求公理体系保持"独立性"和"无矛盾性"。希尔伯特的计划也确实有一定的进展，几乎全世界的数学家都乐观地看着数学大厦即将竣工。
64、1912 年，在阿姆斯特丹大学的数学教授就职演说上，布劳威尔进一步探讨了他认为与这个“定律”有联系的问题。
65、为了证明自己的观点，康托尔提出了“超越数”的概念，所谓超越数就是不能满足任何整系数代数方程的实数，但是他没有举出具体的超越数例子，这一下引起了当时同行们的怀疑和愤怒。康托尔面临各种质疑由于过度紧张得了精神病，最终死在了精神病院里。
66、回顾在此以前的各种数学，无非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。例如，泰勒斯预测日食、利用影子计算金字塔高度、测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的。至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，也就继续走着以算为主，以用为主的道路。而由于第一次数学危机的发生和解决，希腊数学则走上完全不同的发展道路，形成了欧几里得《原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系，为世界数学作出了另一种杰出的贡献。
67、罗素悖论是：集合S由一切不是自身元素的集合所组成。然后问：S是否属于S？如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。